1º ano Matematica
Volume 1
Página 4
Exercícios 1, 2 & 3.
_________________________________________
questão 1.
a) A= { 5,6,7,8,9,10,11}
b) B= {o,1,2,3,4,5,6}
c) C= {-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
d) D= {-2,-1,0,1,2,3,4,5,6..}
_________________________________________
questão 1.
a) A= { 5,6,7,8,9,10,11}
b) B= {o,1,2,3,4,5,6}
c) C= {-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
d) D= {-2,-1,0,1,2,3,4,5,6..}
_________________________________________
questão 2.
a) E= {0,4,8,12,16}
b) F= {9,11,13,15,17}
c) G= {-3,-2,-1,0,1}
d) H= {4,5,6,7,8}
questão 2.
a) E= {0,4,8,12,16}
b) F= {9,11,13,15,17}
c) G= {-3,-2,-1,0,1}
d) H= {4,5,6,7,8}
__________________________________________
Questão 3.
Questão 3.
-seria as respostas, da questão numero 2 (:
Página 5
Exercício 2
a) E {0,4,8,12,16}
b) F {5,11,13,15,17}
c) G {-3,-2,-1,0,1}
d) H {4,5,6,7,8}
Página 5
ex: 5
a) a1;
a) a1;
a1= 1-1 0
___1+1 = 2 = 0
___1+1 = 2 = 0
b) a5;
a5= 5-1 = 4:2 = 2
____5+1 = 6:2= 3
____5+1 = 6:2= 3
c) o 8º termo;
a8= 8-1 = 7
___8+1= 9
___8+1= 9
d) a posição do termo é igual a 9
11
11
a10= 10-1 = 9
____10+1 =11
____10+1 =11
Página 6
Exercício 3
E={4x,sendoxEN/x<=4}
F={2x,sendoxEN/4<=+<=8}
G={xEZ/-3<=x<=1}
H={xEN/4<=x<=8}
F={2x,sendoxEN/4<=+<=8}
G={xEZ/-3<=x<=1}
H={xEN/4<=x<=8}
Página 6
Exercício 4
a) 1
b) 2
c)8
b) 2
c)8
Página 6
Questão 5
Segunda figura
Questão 6
38ª = Segunda figura
149ª Primeira figura
149ª Primeira figura
Questão 7
38ª = 2
149ª = 3
Questão 8
Numa terça feira
Questão 9
a) 120+6.10=120+60=180 arvores
b) No 10º Dia = 120+9.10=120+90=210
2.210=420 arvores
2.210=420 arvores
Página 7
ex: 8
R: Terça-Feira
ex: 9
a) 180 arvores
Página 8
exercício 10..
a) VI= c2 e c3… d3 e d4….
b) 10 vezes
Pág. 8
10.
a) v1 = C2 e c3 … D3 e D4
a) v1 = C2 e c3 … D3 e D4
b)
10 vezes!
Pág. 8
Liçαõ de cαsα
Observe as seqüências abaixo
α) 1,2,2,3,1,2,2,3…
.qual é o 20º termo da seqüência ? —> o número 3
b)0,0,0,7,8,5,0,0,0,7…
.qual é o 30º número da seqüência ? —> o número 5
c)1,2,3,9,11,15,1…
.qual é o 24º número da seqüência ? —> o número 15
α) 1,2,2,3,1,2,2,3…
.qual é o 20º termo da seqüência ? —> o número 3
b)0,0,0,7,8,5,0,0,0,7…
.qual é o 30º número da seqüência ? —> o número 5
c)1,2,3,9,11,15,1…
.qual é o 24º número da seqüência ? —> o número 15
* O que está entre parênteses é que é elevado.
Página 9
exercício 2…
21+7= 28
28+8= 36
Pág.10
Ex.:3
x²-8x=15=0
a=1 b=-8 c=15
x²-8x=15=0
a=1 b=-8 c=15
S=-(-8)
1
1
P=15
1
1
S=-8 p=15
x=3 x=5
Obs.: S e P (S= soma e P=produto)
Pág. 10
3) S= (-3,-1,1,3,5)
x²-8x+15=0
b²-4ac / -b+-raiz²dedelta (não tem no teclado –’ )
x²-8x+15=0
b²-4ac / -b+-raiz²dedelta (não tem no teclado –’ )
x=(-8)²-4.1.15
64-60
deslta = raiz² de 4
delta= 2
64-60
deslta = raiz² de 4
delta= 2
-(-8)+2= 8+2= 10 = 5
2.1 …………..2… 2
2.1 …………..2… 2
8-2= 6= 3
2 2
2 2
Pág. 10
1-a) S={1/4, 2/5, 3/6, 4/7, 5/8}
b)a9= 9/12
c= a54= 54/57
d= an= m/n+3
b)a9= 9/12
c= a54= 54/57
d= an= m/n+3
2-a) S= {2, 5, 8, 11, 14}
b) a10= 29
c) a20= 59
d) an= 3.n-1
b) a10= 29
c) a20= 59
d) an= 3.n-1
3-a) (1², 2², 3², 4², 5²)
S= (3, 6, 6, 11, 18, 27)
S= (3, 6, 6, 11, 18, 27)
b) 8² + 2 =66
c) a20= 20² + 2 = 402
d) an= n²+2
c) a20= 20² + 2 = 402
d) an= n²+2
Página 11 e 12
Exercício 2 e 3…..
2 a) 2,5,8,11,14
b) 3 x 10 -1= 29
c) 3 x 20 -1= 59
d) an = 3 x n-1
3) a) 3,6,11,18,27
b) 8²+2=66
c) 20²+2=402
d) an=n²+2
Página 12
4.
aN= 1+2/1 = 3/1 = 3
aN= 2+2/2 = 2/2 = 2
aN= 3+2/3 = 5/3
aN= 4+2/4 = 6/2 = 3/2
aN= 5+2/5 = 7/5
aN= 1+2/1 = 3/1 = 3
aN= 2+2/2 = 2/2 = 2
aN= 3+2/3 = 5/3
aN= 4+2/4 = 6/2 = 3/2
aN= 5+2/5 = 7/5
Pág. 11, 12 e 13
3-a) S=(3,6,11,18,27)
b)8²+2 = 66
c) A20= 20² + 2 = 402
d) An= n² + 2
5-
a) A1= 0
b) A5= 2/3
c) A8= 7/9
d) 10º
a) A1= 0
b) A5= 2/3
c) A8= 7/9
d) 10º
6-
a) A5= 1/9
b) A6= 1/27
c) 7º
a) A5= 1/9
b) A6= 1/27
c) 7º
* O que esta entre parênteses é que é elevado.
Página 13
ex: 7
O termo certo é o segundo ( an = 3³-n )
n = 1 a1 = 3³ ¹ = 3² = 9 <~~ subtrai os expoentes 3-1 = 2 n = 2 a2 = 3³ ² = 3¹ = 3 <~~ subtrai os expoentes 3-2 = 1 n = 3 a3 = 3³ ³ = 3 = 1 <~~ subtrai os expoentes 3-3 = 0
Pág. 14
8.
a- 18
b- 28
c- 68
d- 200
e —
f- An = A1 + (N-1) . R
a- 18
b- 28
c- 68
d- 200
e —
f- An = A1 + (N-1) . R
Pág. 14
a) 18
b) 28
c)68
d)109
e)211
9-
a) (1,3,5,7,9…)
b) 25
c)49
d) a n = 2n-1
a) (1,3,5,7,9…)
b) 25
c)49
d) a n = 2n-1
Pág. 15
10-
a)A6=36
b)A7=49
c)N² ou n.n
b)A7=49
c)N² ou n.n
Pág. 15
Questão 10
a) a6=36
b)a7=49
c)an=n²
b)a7=49
c)an=n²
Página 15
10-
A)6.6=36
b)7.7=49
C)an=n²
A)6.6=36
b)7.7=49
C)an=n²
Lição de casa
1.
A) (raizde2, raizde3, 2 , raizde5, raizde6)
B) (2, 3, 4, 5, 6)
1.
A) (raizde2, raizde3, 2 , raizde5, raizde6)
B) (2, 3, 4, 5, 6)
2.
A) 30
A) 30
Pág. 16
b) 1|1|0
2|2|2
3|3|6
4|4|12
n|n|n²-n
2|2|2
3|3|6
4|4|12
n|n|n²-n
c ) 39²-39=1482 Formula= n²-n
3)
A) 6 e 100
B) N²
A) 6 e 100
B) N²
Pág.17
4
a) 25
b) o numero de quαdrαdos escuros é mαior qe o numero de quαdrαdos clαros .
c) Nessα situação o numero de quadrαdos clαros é mαior
a) 25
b) o numero de quαdrαdos escuros é mαior qe o numero de quαdrαdos clαros .
c) Nessα situação o numero de quadrαdos clαros é mαior
5
…α primeirα frαse é pαrα o primeiro quαdrαdo en brαnco e consecutivαmente …
…α primeirα frαse é pαrα o primeiro quαdrαdo en brαnco e consecutivαmente …
α somα dos 4 primeiros números impαres é iguαl αo quαdrαdo de 4 .
1+3+5+7+9=25=5²
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1) a. I=15,18,21
II= 16,19,22
III= 17,20,23
IV= 64,128,256
V = 1,0;1,2;1,4
VI= 1024,4096,16384
II= 16,19,22
III= 17,20,23
IV= 64,128,256
V = 1,0;1,2;1,4
VI= 1024,4096,16384
B) Não pois só algarismo 8 aparece no termo 28,que é o 10 termo da seqüência.
Página 19
c) não porque na seqüência I o resto sempre 0 na II seqüência o resto é sempre 1 e na seqüência III o resto é 2
d) seqüência 0,2
e) II Formado por números divisíveis por 3 deixam o resto 1 logo o 137 não é termo da seqüência (II),pois a divisão de 137 por 3 deixa resto 2
f) ªn=3(n-1).n E n*
g) ªn= 3.n+1, n E n*
h) ªn= 3n+2, n E n*
i) ªn= (-2)n” o n é elevado” , n E n*
j) ªn= 0,2.n, n E n*
l) I,II,III,IV são PA porque adiciona na razão
IV,VI. são PG porque multiplica
IV,VI. são PG porque multiplica
Página 20
2) a-
2118= Copa do Mundo
2079= Jogos Pan-Americanos
2017= Não haverá competições
b-Não é possível!Pois qualquer número dividido por 4 deixa apenas um desses restos.
2118= Copa do Mundo
2079= Jogos Pan-Americanos
2017= Não haverá competições
b-Não é possível!Pois qualquer número dividido por 4 deixa apenas um desses restos.
3) a- (-8,-2,4,10,16)
b- 40
c- 76
d- 106
e- 58-16=42
f- an= 6.n-14
b- 40
c- 76
d- 106
e- 58-16=42
f- an= 6.n-14
4) a- a2= 0,02.5=0,1
b- a3= 0,1.5=0,5
c- a4= 0,5.5=2,5
d- 62,5+2,5=25
e- an=0,02.5 elevado à n-1
b- a3= 0,1.5=0,5
c- a4= 0,5.5=2,5
d- 62,5+2,5=25
e- an=0,02.5 elevado à n-1
Página 21
b) não é possível, pois qualquer numero dividido por 4 deixa um,e apenas um desses resta zero 1,2 ou3
3) a- (-8,-2,4,10,16…)
b- 40
c- 76
d- 106
e- 42
f- ªn-6.n-14
4) a- 0,1
b- 0,5
c-2,5
d- 25
e- ªn=0,02.5( este numero e elevado no 5 /n-1)
5) a- r=3 PA
b- não é PA
C- r= 4 PA
D- SÃO PA E PG. PA PQ A RAZÃO R=0/PG PQ A RAZÃO R=1
E- R=1/2(FRAÇÃO) PA
f) não é PA
Pág. 22
a)
Razão:3
Razão:3
b)
não
não
c)
Razão: -4
Razão: -4
d)
Razão: 0
Razão: 0
e)
Razão: 1/2 (meio)
Razão: 1/2 (meio)
f)
Não
Não
Pág. 24
6-
I ) 5,9,13,17,21
II ) 3,7,23,63,99
III ) 2,6,18,54,162
IV ) 2,5,8,11,14
II ) 3,7,23,63,99
III ) 2,6,18,54,162
IV ) 2,5,8,11,14
7-
I) q=3
II) ñ é PG
III) q=1/3 (um terço)
IV) q= -2
V) ñ é PG
VI) q= Raiz quadrada de 2
II) ñ é PG
III) q=1/3 (um terço)
IV) q= -2
V) ñ é PG
VI) q= Raiz quadrada de 2
Pág. 25
8-
I) 4,7,10,13,16
II) 2,11,26,47,74
III) 3,6,9,12,15
IV) 3,6,12,24,48
V) 3,5,7,9,11
II) 2,11,26,47,74
III) 3,6,9,12,15
IV) 3,6,12,24,48
V) 3,5,7,9,11
Página 26
9)a- 3.²,12.²,24.²,48.² Quinto termo,96… sexto termo
PG (obs. os pontinhos são a operação multiplicar vezes)
PG (obs. os pontinhos são a operação multiplicar vezes)
b- sim é uma PG porque ela se multiplica
c- 1 | 3 | 3
3 | 3.2=3.2¹| 6
3 | ……….. | 12
4 | …………. | 24
… | …………. | 48
n | …………. | 96
3 | 3.2=3.2¹| 6
3 | ……….. | 12
4 | …………. | 24
… | …………. | 48
n | …………. | 96
Obs. os pontilhados são as contas que não cabem no espaço eu fiz assim e a professora aceitou.
Página 27
10) a- sim pq. é uma seqüência de 6 em 6
b- 28+6=34 & 34+6=40
c- 4+77.6=466
d- ªn=4+(n-1).6=6.n-2
11)ª20=ª9+11.r
12) (8,2,-4,-10)
Página 29
6)a- 1ª=50.00
2ª=20/100. 50.00=10,000+50,000=60,000
3ª=200/100.60,000=12,000+60,000=72,000
4ª=20/100.72,000=14,400+72,000=86,400
5ª=20/100.86,400=17,280+86,400=103,680
(obs.as barra significa que são números em fração)
________________________________________________
b- PG r= 1,2
c- P1=50,000
P2=50,000.1,2¹.1,2=50,000.1,2²
P3=50,000.1,2².1,2=50,000.1,2³
e assim,Pn=50,000.1,2 (o n é elevado)
_________________________________________________
7)
a-1ª=20,000
2ª=18,000
3ª=16,200
4ª=14,580
5ª=13,122
b- P1= 20,00
P2=20,000.0,9.0,9=20,000.0,9²
P3=20,000.0,9².0,9=20,000.0,9³
assim Pn=20,000.0,9n (o n é elevado)
_____________________________________________________
2ª=20/100. 50.00=10,000+50,000=60,000
3ª=200/100.60,000=12,000+60,000=72,000
4ª=20/100.72,000=14,400+72,000=86,400
5ª=20/100.86,400=17,280+86,400=103,680
(obs.as barra significa que são números em fração)
________________________________________________
b- PG r= 1,2
c- P1=50,000
P2=50,000.1,2¹.1,2=50,000.1,2²
P3=50,000.1,2².1,2=50,000.1,2³
e assim,Pn=50,000.1,2 (o n é elevado)
_________________________________________________
7)
a-1ª=20,000
2ª=18,000
3ª=16,200
4ª=14,580
5ª=13,122
b- P1= 20,00
P2=20,000.0,9.0,9=20,000.0,9²
P3=20,000.0,9².0,9=20,000.0,9³
assim Pn=20,000.0,9n (o n é elevado)
_____________________________________________________
Página 30
Exercício 7
A)
20,000,00
20,000,00
a1=20 000 .0,9=18 000
a2=18 000 .0,9=16 200
a3=16 200 .0,9=14 580
a4=14 580 .0,9=13 122
a2=18 000 .0,9=16 200
a3=16 200 .0,9=14 580
a4=14 580 .0,9=13 122
(18 000,16 200, 14 580,13 122)
B) n
An=20 000 .0,9
Página 31
An=20 000 .0,9
Página 31
Você aprendeu
1)1ª=4+3.1=7
2ª=4+3.2=10
3ª=4+3.3=16
4ª=4+3.4=19
5ª=4+3.5=22
b- ªn=n+1
c- ªn=4+3.n
________________________________________________________
2)d1=-5.1+15
d1=-5+1
______________
d2=-5.2+15
d2=-10+15
d2=-5
________________
d3=-5 .3+15
d3=-15+15
d3=0
_________________
d4=-5.4+3
d4=-20+3
d4=-23
_______________
3) a- 37
b- 62
c- E=n+6
d-56
e- PA soma
2ª=4+3.2=10
3ª=4+3.3=16
4ª=4+3.4=19
5ª=4+3.5=22
b- ªn=n+1
c- ªn=4+3.n
________________________________________________________
2)d1=-5.1+15
d1=-5+1
______________
d2=-5.2+15
d2=-10+15
d2=-5
________________
d3=-5 .3+15
d3=-15+15
d3=0
_________________
d4=-5.4+3
d4=-20+3
d4=-23
_______________
3) a- 37
b- 62
c- E=n+6
d-56
e- PA soma
Página 31
Exercício 1
A)
p1=4+3.1=7
p2=4+3.2=10
p3=4+3.3=13
p4=4+3.4=16
p5=4+3.5=19
p6=4+3.6=22
p2=4+3.2=10
p3=4+3.3=13
p4=4+3.4=16
p5=4+3.5=19
p6=4+3.6=22
(7,10,13,16,19,22)
B)
P.A., razao 1
C)
P.A., razao 3
Página 32
Exercício 2
a)
(10,5,-5,-10-15) {nao sei se ta certo}
b)
é um P.G.
3-
a)
a)
37
b)
61
c)
p=6n+1
d)
pq=6.9+1 pq=55
e)
é uma P.A. de razao 6
Página 32 e 33
3]a) a6=37
b) a10= 6.10+1 ->61
c) n= Conjunto E={1,2,3,4,5,6…}.
p= n “transformados”; equação: p= 6n+1
p= n “transformados”; equação: p= 6n+1
d) a9= a10-r -> 61-6= 55; ou então assim:
a9= 6n+1 -> a9= 6.9+1 -> a9= 55
a9= 6n+1 -> a9= 6.9+1 -> a9= 55
e) P.A. => a3-a2= 6, a2-a1= 6.
Página 33 e 34
“Lição de casa”
*Obs: Como não tem do elevado a 4 pra frente no meu teclado, eu vou colocar assim por exemplo:³+¹; vocês coloquem elevado a 4 ao invez disso.E o sinal de divisão vai ser o “/” (a barra).E os números grandes, que estão por exemplo: a1, a2… esses são aqueles numeros pequenos q vão embaixo da letra a, eu num achei eles aqui… então coloquei o grande mesmo, mas vocês coloquem os pequenos.
1] a1= 7, a2= 49, a3= 343, a4= 2401.
a1=7¹, a2= 7², a3=7³, a4=7³+¹ –> q= 7
a3/a2, a2/a1 –> 343/49= 7, 49/7= 7 —> P.G. <— Iam a Bagdá: 2401 gatinhos;343 gatos; 49 sacos; 7 mulheres.
2-
a) A= {00,11,22,33,44,55,66,77,88 e 99.}. P.A.: 33-22= 11, 22-11= 11, 11-0= 11. r=11
b) B={000,010,020… 989,999}. NÃO é uma P.A. ===>
===>090-101=11, 010-000= 10, 999-989=10.<=== *Na mudança de centenas, por exemplo: 090 para 101, 898 para 909.A razão varía de 10 para 11, depois volta a 10.
a1=7¹, a2= 7², a3=7³, a4=7³+¹ –> q= 7
a3/a2, a2/a1 –> 343/49= 7, 49/7= 7 —> P.G. <— Iam a Bagdá: 2401 gatinhos;343 gatos; 49 sacos; 7 mulheres.
2-
a) A= {00,11,22,33,44,55,66,77,88 e 99.}. P.A.: 33-22= 11, 22-11= 11, 11-0= 11. r=11
b) B={000,010,020… 989,999}. NÃO é uma P.A. ===>
===>090-101=11, 010-000= 10, 999-989=10.<=== *Na mudança de centenas, por exemplo: 090 para 101, 898 para 909.A razão varía de 10 para 11, depois volta a 10.
Página 35
1-
a1=10 an=70 n=11 r=6
an=a1+(n-1).r
70=10+(n-1).6
70-10=6n-6
60+6=6n
6n=66
n=66/6
n= 11
a1=10 an=70 n=11 r=6
an=a1+(n-1).r
70=10+(n-1).6
70-10=6n-6
60+6=6n
6n=66
n=66/6
n= 11
formula da soma é: Sn=(a1+an).n/(dividido por)2
Sn=10+70.11
——————
2
sn=880/2
sn=440
Sn=10+70.11
——————
2
sn=880/2
sn=440
3- a1=115 an=828 n=32 r=23
828= 115 +(n-1).23
828-115=23n-23
828-115+23=23n
23n=736
n=736/23
n=32
828= 115 +(n-1).23
828-115=23n-23
828-115+23=23n
23n=736
n=736/23
n=32
Sn=(115+828).23
———————–
2
———————–
2
Sn=30.176/2
Sn=15.088
Sn=15.088
Página 35
ex 2
a¹=13 an=153 n=21 r=7
an=13+(21-1).7
an = 13+20.7
a²¹=153
a¹=13 an=153 n=21 r=7
an=13+(21-1).7
an = 13+20.7
a²¹=153
a¹=13 an=363 n=51 r=7
an=13(51-1).7
an=13+50.7
an=363(a51)
an=13(51-1).7
an=13+50.7
an=363(a51)
a1=153 an=363 n=30 r=7
Sn=(153+363).30
———————-
2
Sn=(153+363).30
———————-
2
Sn=516.30/2
Sn=15.480/2
Sn=7.740
Sn=15.480/2
Sn=7.740
Página 35
1)an = a1 (n-1). r
70 = 10 + (n-1). -6
70 = 10+ 6n – 6
70 – 10 + 6 = 6n
(não tem fração no teclado,então vou escrever)
66 = 6n sobre 6
70 = 10 + (n-1). -6
70 = 10+ 6n – 6
70 – 10 + 6 = 6n
(não tem fração no teclado,então vou escrever)
66 = 6n sobre 6
n=11
(mesma conta)
Sn= (a1+an). n sobre 2
S11 = (10 + 70) .11 sobre 2
S11 = 80 . 11 sobre 2
S11 = 880 sobre 2 = 440
S11 = (10 + 70) .11 sobre 2
S11 = 80 . 11 sobre 2
S11 = 880 sobre 2 = 440
Página 35
2)an = 13 + (21-1) . 7
an = 13 + 140
an = 153
an = 13 + 140
an = 153
an = 13 + (51-1). 7
an = 13 + 350
an = 363
an = 13 + 350
an = 363
Sn = (153+363). 30 sobre 2
Sn = 516.30 sobre 2 = 15.480 sobre 2
Sn = 7.740
Sn = 516.30 sobre 2 = 15.480 sobre 2
Sn = 7.740
3)828 = 115+ (n-1) . 23
828 – 155 = 23n – 23
713 + 23 = 23n
736 = 23n
n = 736 sobre 23 = 32
828 – 155 = 23n – 23
713 + 23 = 23n
736 = 23n
n = 736 sobre 23 = 32
S32 = (115+828) 32 elevado à 16
S32 = 943 . 16
S32 = 15088
S32 = 943 . 16
S32 = 15088
Página 35
4) a- 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66
b- Ela vai aumentando de acordo com o número anterior.Ex:se na base o nºde bolinhas for 2, consequentemente a próxima será 2+1,tanto na base,quanto na altura.
c- an-(n+1 sobre 2)
d-
1|1|1
2|1+2|3
3|1+2+3|6
4|1+2+3+4|10
…|…|…
b- Ela vai aumentando de acordo com o número anterior.Ex:se na base o nºde bolinhas for 2, consequentemente a próxima será 2+1,tanto na base,quanto na altura.
c- an-(n+1 sobre 2)
d-
1|1|1
2|1+2|3
3|1+2+3|6
4|1+2+3+4|10
…|…|…
n = 1+2+3+4+5+…+ (n-1)+n
an= n(n+1) sobre 2
an= n(n+1) sobre 2
5) a- 6ª = 51
7ª = 70
Página 36/37
7ª = 70
Página 36/37
4) a- 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66
b- Ela vai aumentando de acordo com o número anterior.Ex:se na base o nºde bolinhas for 2, conseqüentemente a próxima será 2+1,tanto na base,quanto na altura.
c- an-(n+1 sobre 2)
d-
1|1|1
2|1+2|3
3|1+2+3|6
4|1+2+3+4|10
…|…|…
b- Ela vai aumentando de acordo com o número anterior.Ex:se na base o nºde bolinhas for 2, conseqüentemente a próxima será 2+1,tanto na base,quanto na altura.
c- an-(n+1 sobre 2)
d-
1|1|1
2|1+2|3
3|1+2+3|6
4|1+2+3+4|10
…|…|…
n = 1+2+3+4+5+…+ (n-1)+n
an= n(n+1) sobre 2
an= n(n+1) sobre 2
5) a- 6ª = 51
7ª = 70
7ª = 70
Página 38
6) (1,2,4,8..)
S20 = 1×1-2²º sobre 1-2
S20=1×1-1.048.576 sobre 1-2
S20=1x-1.048.575 sobre -1
S20=1.048.575
S20=1×1-1.048.576 sobre 1-2
S20=1x-1.048.575 sobre -1
S20=1.048.575
7)
510=2.1-2 elevado á n sobre 1-2
510-2.1-2 elevado à n sobre -1
510=2.(1-2 elevado à n )
510 sobre 2 = (-1+2 elevado à n)
255 = -1+2 elevado à n
255 + 1= 2 elevado à n
256=2 elevado à n
2 elevado à oito = 2 elevado à n
510-2.1-2 elevado à n sobre -1
510=2.(1-2 elevado à n )
510 sobre 2 = (-1+2 elevado à n)
255 = -1+2 elevado à n
255 + 1= 2 elevado à n
256=2 elevado à n
2 elevado à oito = 2 elevado à n
daí vc corta os 2 e coloca o resultado final
8=n
n=256
Página 39
a- 1,2,4,8,16,32,64,128an=a.q elevado à n-1
128=1.2 (elevado à n-1)
128=2 (elevado à n-1)
27=2 (elevado à n) . 2 (elevado à -1)
7+1 = 8
n=8
128=2 (elevado à n-1)
27=2 (elevado à n) . 2 (elevado à -1)
7+1 = 8
n=8
Sn=1.2 (elevado à 8-1) sobre 2-1
S20=2 (elevado à -1 sobre 1
S20=256-1 sobre 1
S20= 255 +1
S20=256
S20=2 (elevado à
-1 sobre 1S20=256-1 sobre 1
S20= 255 +1
S20=256
b- 256 . 0,5 = 128 cm
c- O preço pago pela TV é de R$ 765,00
Página 40
1) a- an=5n-9
b- an=a1+ (n-1).r
a12=-4+(12-1).5
a12=-4+(11).5
a12=-4+55
a12=21
b- an=a1+ (n-1).r
a12=-4+(12-1).5
a12=-4+(11).5
a12=-4+55
a12=21
sn=(-4+51).12
sn=(47).6
sn=282
c- sn=(-4+5.n-9).n sobre 2
an= 1 sobre 2 (-13+5n).n
an=1 sobre 2 (-13n+5n²)
sn=(47).6
sn=282
c- sn=(-4+5.n-9).n sobre 2
an= 1 sobre 2 (-13+5n).n
an=1 sobre 2 (-13n+5n²)
2) a- s6=3.(6)(elevado à 2)-5.6
s6=3.(36)-30
s6=108-30
s6=78
b- s7=3.(7) (elevado à 2)-5.7
s7=3.(49)-35
s7=147-35
s7=112
c- O 7º termo é a diferença entre S7 e S6 / a7=112-78= 34
d- a1=3(1) (elevado à 2)-5.(1) →s1=3-5= -2
a2=s2-a1=
s2=3(2) (elevado à 2)-5(2)
s2=3(4)-10
s2=12-10=2
a2=2-(-2)
a2=2+2
a2=4
s6=3.(36)-30
s6=108-30
s6=78
b- s7=3.(7) (elevado à 2)-5.7
s7=3.(49)-35
s7=147-35
s7=112
c- O 7º termo é a diferença entre S7 e S6 / a7=112-78= 34
d- a1=3(1) (elevado à 2)-5.(1) →s1=3-5= -2
a2=s2-a1=
s2=3(2) (elevado à 2)-5(2)
s2=3(4)-10
s2=12-10=2
a2=2-(-2)
a2=2+2
a2=4
(-2,4,10,16,22,28,34)
é uma P.A .
Página 40
10) a- 5% = 0,05
P.G → q = 1-0,05
q= 0,95
a6= ?
an = a1.q (elevado à n-1)
a6=200.0,95 (elevado à 6-1)
a6=200.0,95 (elevado à 5)
a6 = 154,20
P.G → q = 1-0,05
q= 0,95
a6= ?
an = a1.q (elevado à n-1)
a6=200.0,95 (elevado à 6-1)
a6=200.0,95 (elevado à 5)
a6 = 154,20
b- S= 200 – 0,95 (elevado à 6) – 1 sobre 0,95 -1
S200= (-0,27 sobre -0,05)
S=200.5,4
S200= (-0,27 sobre -0,05)
S=200.5,4
Sn= 1.080
Página 42
3.a)
a4 = 10 . 1, 20 [ elevado a 3 ]
a4 = 10 . 1, 728
a4 = 17, 28 km
a4 = 10 . 1, 20 [ elevado a 3 ]
a4 = 10 . 1, 728
a4 = 17, 28 km
b)
sn = 10 . (1 ,20 [ elevado a 10] -1)
1,20 -1
s10= 10 . (6,2 – 1)
1,20 – 1
s10= 10 . 5,2
0,20
s10 = 52
0,20
s10 = 250 km
sn = 10 . (1 ,20 [ elevado a 10] -1)
1,20 -1
s10= 10 . (6,2 – 1)
1,20 – 1
s10= 10 . 5,2
0,20
s10 = 52
0,20
s10 = 250 km
Página 45
1 mes | 1,04.500 | 520| á soma do 520 até 700 é 6100
2 mes | 1,08.500 | 540| ele vai resgatar nesse investimento 6100
3 mes | 1,12.500 | 560|
4 mes | 1,16.500 | 580|
5 mes | 1,20.500 | 600|
6 mes | 1,24.500 | 620|
7 mes | 1,28.500 | 640|
8 mes | 1,32.500 | 660|
9 mes | 1,36.500 | 680|
10 mes | 1,40.500 | 700|
2 mes | 1,08.500 | 540| ele vai resgatar nesse investimento 6100
3 mes | 1,12.500 | 560|
4 mes | 1,16.500 | 580|
5 mes | 1,20.500 | 600|
6 mes | 1,24.500 | 620|
7 mes | 1,28.500 | 640|
8 mes | 1,32.500 | 660|
9 mes | 1,36.500 | 680|
10 mes | 1,40.500 | 700|
Página 51
Você Aprendeu?
1. S= 2+1/2+1/8+1/32+…
S(ake é um símbolo que não tem no teclado,é tipo um 8 de lado, e não tem, parênteses)=a1/1-q
2.A) S=-10+1-0,1+0,01-0,001+0,0001
S2=a1/1-q = 2/1-1/4 – 2/ 4/4-1/4 = 2/ 3/4 = 2.4/3=8/3
Sx=8/3
Sx=8/3
Página 51
Ex.
a) a1=2
q=1sobre4 ¹/4
Lim Sn=?
n=infinitivo
a) a1=2
q=1sobre4 ¹/4
Lim Sn=?
n=infinitivo
Lim Sn=a1/1-q
Lim Sn=2/1-1/4
Lim Sn=2/4-1 sobre 4
Lim Sn=2/3/4=2×4/3
Lim Sn=2,6
Volume 2
Página 4
a ) Não é uma Proporção
b) Não é uma Proporção
c) Sim . é diretamente Proporcional
D) sim .é diretamente Proporcional
e)sim .é diretamente Proporcional
b) Não é uma Proporção
c) Sim . é diretamente Proporcional
D) sim .é diretamente Proporcional
e)sim .é diretamente Proporcional
Página 5
2.
a) A produção de automóveis cresce simultaneamente com a produção de tratores, ela é diretamente proporcional
b) Cresce juntamente ambas as áreas, mas nao é proporcional
c)Não há proporcionalidade pois o PIB aumenta diretamente mas nao proporcionalmente e o IDH é inverso e não há proporcionalidade.
d) um cresce diretamente e o outro inversamente.
a) A produção de automóveis cresce simultaneamente com a produção de tratores, ela é diretamente proporcional
b) Cresce juntamente ambas as áreas, mas nao é proporcional
c)Não há proporcionalidade pois o PIB aumenta diretamente mas nao proporcionalmente e o IDH é inverso e não há proporcionalidade.
d) um cresce diretamente e o outro inversamente.
3. x | 400.000 | 200.000 |133.333,33 |100.000 |80.000 | 50.000 | 40.000 |20.000
4. m² R$
25 20,00
225 x
25x = 4.500
x= 4.500/25
x= 180 [reais]
Página 6
exercício 4
25 20,00
225 x
25x = 4.500
x= 4.500/25
x= 180 [reais]
Página 6
exercício 4
20 x 4 = 80
Página 7
2 ) a ) 4,9 m/s²
Página 7
x e y são diretamente proporcionais
y e z não tem proporção
x e y inversamente proporcionais
y e z não tem proporção
x e y inversamente proporcionais
Pagina 7
Ex. 2
a)
d= k.t²
4,9=k1²
4,9=k.1
k=4,9
a)
d= k.t²
4,9=k1²
4,9=k.1
k=4,9
b)
d=4,9.t²
d=4,9.5²
d=4,9.25
d=22.5m
d=4,9.t²
d=4,9.5²
d=4,9.25
d=22.5m
Página 8
Ex. 1
L 0 1 2 3 4 6
P 0 2,50 5 7,5 10 15
P 0 2,50 5 7,5 10 15
Página 10
p(12)=15+0,8.x=(12)
P(12)=15+9,6
p(12)=24,60
P(12)=15+9,6
p(12)=24,60
Página 12/13
1.
a) menor – 10m
maior – 100m
a) menor – 10m
maior – 100m
b)40m – 2 vezes
95m – 6 vezes
95m – 6 vezes
2.
a)x1 = 500L e x2 = 800L
N. 500=2000
N = 2000/500
N = 40 dias
a)x1 = 500L e x2 = 800L
N. 500=2000
N = 2000/500
N = 40 dias
N.800 = 2000
N2000/800
N= 25 dias.
N2000/800
N= 25 dias.
(B) – gráfico
3.
a) x=8 —– y=24
x=4———y=12
x=1———y=3
a) x=8 —– y=24
x=4———y=12
x=1———y=3
(x, f (x) )
(8, 24 )
(4, 12 )
(1, 3 )
(x, 3x )
(8, 24 )
(4, 12 )
(1, 3 )
(x, 3x )
Página 14
Exercício c
x=-2
y=k.x
y=3.(-2)
y=F(x)
y=k.x
y=3.(-2)
y=F(x)
y=(-2)
_______________________________________
_______________________________________
y=k.x
y=3.(-2)
y=6
y=3.(-2)
y=6
Página 15
Reta A – y=2x+0
B – y=2x+2
C – y=2x+4
D- y=4
E y= – 4 sobre ( 3) x +4
B – y=2x+2
C – y=2x+4
D- y=4
E y= – 4 sobre ( 3) x +4
Página 16
2-a) pois r$ 500,00 é o valor que se tem quando começa a produzir o xampu, a cada 10 litros tem um aumento de r$ 20,00
b) c (x)=2x+500
y = 500 b = 520 X = 10
y = 500 b = 520 X = 10
520=10a + 500
-10a=520+500
-10a= -20
a= – 20/-10
A= +2
-10a=520+500
-10a= -20
a= – 20/-10
A= +2
c) 2.1500 + 500
3000 + 500=
3500
3000 + 500=
3500
Página 17
d) 10.000=2x+500
10.000-500=2x
x=9.500
——– =4.750L
…..2
10.000-500=2x
x=9.500
——– =4.750L
…..2
3-a) C=CF+CV
C-CV=CF
CF=0.05x
C-CV=CF
CF=0.05x
b) C(x)=0.05
Página 18
c) C(x)=0.05x+2.000
d) Gráfico
Página 19
Ex:. 5
a) – M > 0 em pé
b) – M > 0 -> Reta para direita e é Crescente
M < 0 -> Reta para a esquerda e é Decrescente
M < 0 -> Reta para a esquerda e é Decrescente
Página 23
1. a) -
K – 273 .. …. C- 0
———— . . ——–
373 – 273 .. … 100- 0
———— . . ——–
373 – 273 .. … 100- 0
K – 273 .. …. . . C
———– . . ——–
100 .. …. . . . 100
———– . . ——–
100 .. …. . . . 100
K – 273 = C
Resultado Final — > K = C + 273
Página 24
1.b)
C – 0 .. …. . . F – 32
———— . . ——–
100 – 0 .. … 212 – 32
———— . . ——–
100 – 0 .. … 212 – 32
C .. …. . . F – 32
—— . . ——–
100 .. … 180
—— . . ——–
100 .. … 180
180 C = 100 F – 3200
——————————
. . . . . .100
——————————
. . . . . .100
1,8 C = F – 32 Resultado Final —> F = 1,8 C + 32
Página 25
2- 596-535 = 61 + 596 = 657 milhões de barris
3- a) x+10+x+10+2x+4+2x+4+6x=64
12x=64-28
12x=36
x=36/12
x=3m.
3- a) x+10+x+10+2x+4+2x+4+6x=64
12x=64-28
12x=36
x=36/12
x=3m.
4- 0 a 10 —— > [delta]v=10-0 =1m/s
(ta dividindo) –> [delta]t 10-0
(ta dividindo) –> [delta]t 10-0
10 a 20 ———-> 10 = 10= 1m/s
(ta dividindo)-> 20-10 =10
(ta dividindo)-> 20-10 =10
20 a 30 ———-> 10 = 10 =1m/s
(ta dividindo)-> 30-20=10
(ta dividindo)-> 30-20=10
Páginas 35/36
Lição de casa.
1(a): Coordenados do vértice (-3 , -1/2)
Ponto mínimo: -3
mínimo valor da função: -1/2
Ponto mínimo: -3
mínimo valor da função: -1/2
1(b): Coordenadas do vértice (2 , -5/2)
ponto de máximo -2
máximo valor da função -5/2
ponto de máximo -2
máximo valor da função -5/2
1(c): Coordenadas do vértice (1,2)
ponto do mínimo 1
mínimo valor da função 2
ponto do mínimo 1
mínimo valor da função 2
1(d): Coordenadas (1/2 , -3/4)
ponto de mínimo: 1/2
mínimo valor -3/4
ponto de mínimo: 1/2
mínimo valor -3/4
1(e): Coordenadas do vértice (4,0)
ponto de mínimo: 4
mínimo valor da função: 0
ponto de mínimo: 4
mínimo valor da função: 0
1(f): Coordenadas do vértice (0,2)
ponto de máximo: 0
máximo valor da função: 2
ponto de máximo: 0
máximo valor da função: 2
OS NÚMEROS QUE ESTÃO COMO -1/2 É EM FRAÇÃO.
Volume 3
Página 4
exercicio 1:
3 elevedo a(potencia) 1/2
P=(dentro da raiz)3
e
4 elevado a 1/4
p=x(uma fração)17sobre4
p=(dentro da raiz)x17
P=(dentro da raiz)3
e
4 elevado a 1/4
p=x(uma fração)17sobre4
p=(dentro da raiz)x17
exercicio 2:
I.N=5000.3(elevado) a 2
N=5000.9
N=45000
N=5000.9
N=45000
II.N=5000.3(elevado) a um meio
N=5000.3(dentro da raiz)
N=5000.1,71
N=5000.3(dentro da raiz)
N=5000.1,71
III.N=5000.3(elevado)a dois meio
N=5000.3(dentro da raiz)
N=5000.1,71
N=5000.3(dentro da raiz)
N=5000.1,71
Pagina 4
1- 3 [elevado a] t = 3 [elevado a]1/2 = [raiz de] 3
4,25 = 425/100 [simplifique por 25] = 17/4
3 [elevado a] 17/4
4,25 = 425/100 [simplifique por 25] = 17/4
3 [elevado a] 17/4
ex.02
I-
N=5000 . 3²
N=5000 . 9
N= 45.000 micróbios
I-
N=5000 . 3²
N=5000 . 9
N= 45.000 micróbios
II-
N= 5000 . 3[elevado a] 1/2
N= 5000 . [raiz de] 3
N= 5000 . 1,73
N= 865.000 micróbios
N= 5000 . 3[elevado a] 1/2
N= 5000 . [raiz de] 3
N= 5000 . 1,73
N= 865.000 micróbios
III-
N= 5000 . 3[elevado a]2/3
N= 5000 . [raiz de] 3³
N=5000 . 2,08
N=10.400 micróbios
N= 5000 . 3[elevado a]2/3
N= 5000 . [raiz de] 3³
N=5000 . 2,08
N=10.400 micróbios
IV-
N=5000 . 3[elevado a] 5/4
N=5000 . 3,98
N=19.740 micróbios
N=5000 . 3[elevado a] 5/4
N=5000 . 3,98
N=19.740 micróbios
PÁGINA 05
ex. 03
P(t) = P . (1,5)[elevado a] t
162.000 = P . 1,5 [elevado a]4
P= 162.000/1,54
P= 32.000 automoveis
162.000 = P . 1,5 [elevado a]4
P= 162.000/1,54
P= 32.000 automoveis
PAGINA 05
ex. 3
b) P (10)= 32.000 . 1,5¹°
P = 1.845.281 automóveis
b) P (10)= 32.000 . 1,5¹°
P = 1.845.281 automóveis
Página 06
Ex 04
1 -| 3 e 1/3
2 -| 3²=9 e 1/2²=1/4
3 -| 1/3³ = 1/27
0 -| 2°=1 e 1/3°=1
-3-| 2[elevado a] -3 = 1/2³ =1/8 e 1/2[elevado a]-3= 2³ = 8
1/2| 3 [elevado a] 1/2 = [raiz de]3 = 1,73 e [raiz de]1/3 = 1/ [raiz de] 3
2 -| 3²=9 e 1/2²=1/4
3 -| 1/3³ = 1/27
0 -| 2°=1 e 1/3°=1
-3-| 2[elevado a] -3 = 1/2³ =1/8 e 1/2[elevado a]-3= 2³ = 8
1/2| 3 [elevado a] 1/2 = [raiz de]3 = 1,73 e [raiz de]1/3 = 1/ [raiz de] 3
[a B da pag. 6 ja foi postada]
Página 7
Ex.5,
I – y= 2[elevado a] x
Y= 2° = 1
Y=2¹ = 2
Y=2² = 4
[só por no gráfico]
I – y= 2[elevado a] x
Y= 2° = 1
Y=2¹ = 2
Y=2² = 4
[só por no gráfico]
II- y= 1/2[elevado a] x
Y=1/2°= 1
Y=1/2¹=1/2
Y=1/2²= 1/4
Y=1/2°= 1
Y=1/2¹=1/2
Y=1/2²= 1/4
III- y=3[elevado a]x
Y=3°=1
Y=3¹=3
Y=3²=9
Y=3°=1
Y=3¹=3
Y=3²=9
IV- y= 1/3 [elevado a] x
Y= 1/3°=1
Y= 1/3¹=1/3
Y= 1/3²=1/9
Y= 1/3°=1
Y= 1/3¹=1/3
Y= 1/3²=1/9
Paginas 9 e 10 basta fazer o mesmo da página 7
Pagina 11
Lição de casa
1)a)
N= 3000.1°,¹.°
N= 3000.10°
N= 3000.1
N= 3000
1)a)
N= 3000.1°,¹.°
N= 3000.10°
N= 3000.1
N= 3000
Pagina 11
(LIÇAO DE CASA)
1)a) N=3000.10^0,1.0
N=3000.1 N=3000
————————————————————————————————–
1)a) N=3000.10^0,1.0
N=3000.1 N=3000
————————————————————————————————–
b)N=3000.10^0,1.10
N=3000.10
N=30000
N=3000.10
N=30000
————————————————————————————————–
c) N=3000.10^0,1.20
c) N=3000.10^0,1.20
N=3000.100
N=300000
————————————————————————————————–
d) Depois de 30 anos
N=3000.10^0,1.30
N=3000.1000
N=3000000
————————————————————————————————–
d) Depois de 30 anos
N=3000.10^0,1.30
N=3000.1000
N=3000000
Página 12
b)
N=3000.10°¹.¹°
N=3000.10¹
N=3000.10
N=30.000
N=3000.10°¹.¹°
N=3000.10¹
N=3000.10
N=30.000
c)
N=3000.10°¹.²°
N=3000.10²
N=3000.100
N=300.000
N=3000.10°¹.²°
N=3000.10²
N=3000.100
N=300.000
d)3.000.000=10°¹.t x 3000
3.000.000/3000=10°¹.t
1000=10°¹.t
10³=10°¹.t
3=0,1t
3/0,1= t
t=30
3.000.000/3000=10°¹.t
1000=10°¹.t
10³=10°¹.t
3=0,1t
3/0,1= t
t=30
PAGINA 16
(VOCE APRENDEU?)
1)b)Então o logaritmo de N é 1: log 10=1
c) Sendo N=0 então N não tem logaritmo, pois 10^n é sempre positivo para todo N
d) O logaritmo de N=1/2(um meio) log de raiz de 10=1/2(um meio)
e) Sendo N= -2 não ha logaritmo pois 10^n é sempre positivo para todo N
g)Como 10>3,22<10² ” ” ”
Pagina 19
(VOCE APRENDEU?) 1)
a)Log6 Aprox 0,77(6 Aprox 10^0,77)
b)Log 9 Aprox 0,95424(9 Aprox 10^0,95
c) Log 4 Aprox 0,60206(4 Aprox 10^0,60)
d) Log 12 Aprox 1,07918(12 Aprox 10^1,07)
e) Log 72 Aprox 1,85733(72 Aprox 10^1,85)
f) Log 3600 Aprox 5,55630 ( 3600 Aprox 10^5,55) ———————————————————————————————————-
LIÇAO DE CASA 1)
a) Na=6000 Nb=600
a)Log6 Aprox 0,77(6 Aprox 10^0,77)
b)Log 9 Aprox 0,95424(9 Aprox 10^0,95
c) Log 4 Aprox 0,60206(4 Aprox 10^0,60)
d) Log 12 Aprox 1,07918(12 Aprox 10^1,07)
e) Log 72 Aprox 1,85733(72 Aprox 10^1,85)
f) Log 3600 Aprox 5,55630 ( 3600 Aprox 10^5,55) ———————————————————————————————————-
LIÇAO DE CASA 1)
a) Na=6000 Nb=600
Página 22
2- a) log² 52 = 5 <6
b) 5<6
c) 3< log 400<4
d) 4<5
b) 5<6
c) 3< log 400<4
d) 4<5
3-
a) N=5000.3t N=15000 15000=5000.3t 15000 5000 = 3t 3=3t 3¹=3t t=1
b) N=5000.3t N=25000 25000=5000.3t 25000 5000 = 3t 5=3t log 5 = t ³ 1<2
c) N=5000.3t M=250000 250000=5000.3t 250000 5000 =3t 50=3t log50 = t ³ 3<4
d) N=5000.3t N=350000 350000=5000.3t 350000 5000 = 3t 70=3t log70 = t ³ 3<4
e) N=5000.3t N= 470000 470000 = 5000.3t 470000 5000 =3t 94=3t log94 = t ³ 4<5
a) N=5000.3t N=15000 15000=5000.3t 15000 5000 = 3t 3=3t 3¹=3t t=1
b) N=5000.3t N=25000 25000=5000.3t 25000 5000 = 3t 5=3t log 5 = t ³ 1<2
c) N=5000.3t M=250000 250000=5000.3t 250000 5000 =3t 50=3t log50 = t ³ 3<4
d) N=5000.3t N=350000 350000=5000.3t 350000 5000 = 3t 70=3t log70 = t ³ 3<4
e) N=5000.3t N= 470000 470000 = 5000.3t 470000 5000 =3t 94=3t log94 = t ³ 4<5
Volume 4
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
RAMPAS, CORDAS, PARSECS – RAZÕES PARA ESTUDAR
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Páginas 3 – 7
1. Adotando-se a escala 1 : 1 000, ou seja, 1 cm : 10 m, deve-se desenhar um triângulo
retângulo de catetos 4 cm e 10 cm, como ilustrado a seguir:
2. Notamos, na figura, que + = 90º; logo, = 6º. Consultando uma tabela de
tangentes, ou usando uma calculadora, encontramos: tg 6º 0,105, ou seja, a
inclinação da rampa é 0,105, ou 10,5%. Isso significa que, a cada 100 m que
percorremos horizontalmente, nossa elevação vertical é de cerca de 10,5 m. Em
outras palavras, a cada metro percorrido horizontalmente, subimos cerca de 10,5 cm.
3. Se a inclinação da rampa é de 10%, então, aos 80 m horizontais correspondem 8 m,
ou seja, 800 cm de subida, na vertical. Se cada degrau deve ter no máximo 16 cm de
altura, devemos ter no mínimo
800
= 50 degraus.
16
= 50 degraus.
16
a) As cordas de comprimentos c1 e c2 são diâmetros da circunferência dada; temos,
então, c1 = 2 m e c2 = 2 m.
As cordas de comprimentos c3, c4, c5 e c6 são lados de triângulos equiláteros em que
um dos lados é igual ao raio; logo, c3 = c4 = c5 = c6 = 1 m.
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
Para calcular o comprimento c7, lembrando que todo ângulo inscrito em uma
semicircunferência mede 90º, podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo de lados c1, c6 e c7: (c1)2=(c6)2 + (c7)2 e, assim, obtemos c7 = 3 m 1,73 m.
A figura a seguir pode ajudar a lembrar que o triângulo citado é retângulo.
Observação: c1 é o diâmetro da circunferência e, portanto, igual a 2 m.
Note que o conjunto dos pontos de onde se vê uma corda dada em uma
circunferência qualquer sob um ângulo de 90º forma uma semicircunferência que
tem a referida corda como diâmetro.
b) Como o raio da circunferência é igual a 1, o valor da razão entre a semicorda e o
raio é igual ao comprimento de cada semicorda. Temos, portanto, a tabela a seguir:
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
c) Se o raio da circunferência é igual a 5 m, então, a corda é proporcionalmente
maior do que a correspondente ao raio de 1 m, vista a partir do mesmo ângulo
central, que é 60º. A figura a seguir pode ajudar a compreender o que se afirma:
Logo, se a corda correspondente ao ângulo central de 60º é igual a 1 m (o valor do
raio) na circunferência de raio 1, então a corda correspondente ao mesmo ângulo na
circunferência de raio 5 m é igual a 5 m (cinco vezes maior).
d) Analogamente, se a corda tiver comprimento 100 m, sendo o ângulo central 60º,
então teremos a proporção:
Logo, R
Lembrando que sen 30º = 0,5, também, poderíamos escrever:
c3
sen 30º = 0,5 = 2 50 .
1
R
sen 30º = 0,5 = 2 50 .
1
R
Daí, seguiria, naturalmente, que R
c3
1
.
100 R
1
.
100 R
100 100
100 m .
c3
1,0
100 m .
c3
1,0
50
100 m .
0,5
100 m .
0,5
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
e) Se a corda tiver 100 m, sendo o ângulo central igual a 6º, podemos proceder de
modo análogo ao que foi feito no item anterior, teremos:
sen 3º =
Determinando o valor do seno de 3º em uma tabela de senos, ou em uma calculadora,
obtemos o valor aproximado 0,052. Concluímos, então, que R 961,5 m.
50
50
. Logo, R
sen 3o
R
50
. Logo, R
sen 3o
R
Páginas 8 – 10
a) até d) As igualdades são consequência imediata da definição do cosseno, da
cossecante e da cotangente como sendo, respectivamente, o seno, a secante e a
tangente do ângulo complementar.
e) e f) Como a secante é a razão hipotenusa/cateto adjacente, logo, sec = 1/cos
;
e, analogamente, cossec = 1/sen .
a
sen c a
tg .
g) e h) A observação direta mostra-nos que
cos b b
c
sen c a
tg .
g) e h) A observação direta mostra-nos que
cos b b
c
o
Analogamente, cotg = tg (90 )
Analogamente, cotg = tg (90 )
i)
Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo de catetos a e b e de hipotenusa
c, obtemos: c2 = a2 + b2.
Dividindo os dois membros da igualdade por c2, obtemos:
a b
1 ou seja, 1 = sen2 + cos2 .
c c
1 ou seja, 1 = sen2 + cos2 .
c c
j)
Efetuando as operações indicadas no primeiro membro, temos:
b2 a2 c2
a
1 tg 1
2 sec 2 .
b
b2
b
a
1 tg 1
2 sec 2 .
b
b2
b
2
sen (90 o ) cos
.
cos (90 o ) sen
.
cos (90 o ) sen
2
2
2
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
k) Analogamente ao que foi feito em j):
a2 b2 c2
b
1 + cotg2 = 1
2 cos sec 2 .
2
a
a
a
b
1 + cotg2 = 1
2 cos sec 2 .
2
a
a
a
2
Páginas 12 – 13
a) Pela definição de parsec, quanto menor o ângulo de paralaxe, maior a distância
entre o Sol e a estrela. Logo, se a distância entre o Sol e a estrela é de 10 parsec, o
ângulo de paralaxe é bem menor do que 1” (no caso, o ângulo será cerca de 10 vezes
menor, ou seja, 0,1”).
b) Temos: tg 1” = 0,000004848 = 1 UA/1 parsec.
Logo, 1 parsec/1 UA = 206 270, ou seja, 1 parsec = 206 270 UA.
c) Calculando a distância d percorrida pela luz em um ano, obtemos,
aproximadamente:
d = 365 . 24 . 60 . 60 . 300 000 = 9,46 . 1012 km.
Logo, sendo o parsec igual a 3,09. 1013 km, concluímos que 1 parsec 3,26 anos-luz.
a) Temos: tg 0,5” = 0,000002424 =
Logo, SE = 1/0,000002424 = 412 541 UA.
b) Notamos que, como o ângulo de paralaxe é muito pequeno, a tangente e o seno
têm aproximadamente o mesmo valor, ou seja, o cateto SE e a hipotenusa TE são
aproximadamente iguais. De fato, se fosse calculado o valor de TE, obteríamos:
1 UA
.
1 SE
.
1 SE
TE2 = SE2 + ST2
Notamos que tal distância corresponde a cerca de 2 parsec.
412 5412 1 412 541 UA.
TE =
GABARITO
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
DOS TRIÂNGULOS À CIRCUNFERÊNCIA – VAMOS DAR UMA
VOLTA?
VOLTA?
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
Páginas 14 – 15
2. Os ângulos indicados são:
= 60º
= 120º
= 240º
= 300º
Como sen 30º =
1
3
e sen2 30º + cos2 30º = 1, cos 30º =
2
2
3
e sen2 30º + cos2 30º = 1, cos 30º =
2
2
Logo: sen 60º = cos 30º =
3
2
2
sen 120º = sen 60º =
sen 240º = – sen 60º =
sen 300o = – sen 60o =
3
2
2
3
2
2
3
2
2
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
Página 15
1. Basta lembrar que:
tg = sen /cos
sec = 1/cos
Naturalmente, nos pontos em que os denominadores são nulos, a razão
correspondente não existe.
cotg = cos /sen
cossec = 1/sen
Páginas 16 – 17
3. Vamos mostrar que o segmento TB representa a tangente de e que o segmento OB
representa a secante de .
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
De fato, da semelhança dos triângulos OPA e OTB, resulta:
Como OA = OT = 1, OP = cos e PA = sen ,
segue que:
Logo,
TB
a)
1. Em consequência do resultado acima, aplicando-se o teorema de Pitágoras aos
triângulos OPA e OTB, obtemos:
cos2 + sen2 = 1
1 + tg2= sec2
2. Lembrando que cotg = tg (90º – ) e cossec = sec (90º – ), podemos
representar, analogamente ao que foi feito anteriormente, a secante e a
cossecante em uma figura similar, traçando-se a reta tangente ao ponto (0; 1),
como mostra a figura a seguir.
cos sen
1
.
TB
OB
1
1
.
TB
OB
1
sen
tg
cos
tg
cos
OB
1
sec
cos
sec
cos
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
4. Comparando os segmentos orientados que representam o seno e o cosseno dos
ângulos citados, podemos concluir que:
a) sen 120o = cos 30º =
cos 120o = – sen 30o = –1/2
3
2
2
Um procedimento análogo, nos itens seguintes, conduziria às respostas abaixo.
Busque também fazer uma figura representando cada item.
b) sen 150º = sen 30º =
c) sen 210º = – sen 30º = –
sen 240o = – cos 30o =
d)
e) sen 300º = – cos 30º =
f)
sen 330º = – sen 30º = –
1
2
2
1
2
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
cos 150o = – cos 30o =
cos 210º = – cos 30º =
cos 240º = – sen 30º = –
cos 300º = sen 30º =
cos 330º = cos 30º =
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
Páginas 17 – 18
a) Se o ponto P percorreu um arco correspondente ao ângulo central de 360º, então,
ele percorreu a circunferência inteira, cujo comprimento é 2 metros.
Logo, s = 2 metros. Sendo = 360º, então, sen 360º = 0.
b) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 180º, então ele percorreu
180/360, ou seja, a metade da circunferência, o que equivale a metros.
Sendo = 180º, então, sen 180º = 0.
c) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 90º, então ele percorreu
90/360, ou seja, um quarto da circunferência, o que equivale a /2 metros. Sendo =
90º, então, sen 90º = 1.
d) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 45º, então ele percorreu
45/360, ou seja, um oitavo da circunferência, o que equivale a /4 metros. Sendo
= 45º,
então, sen 45º =
e) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 30º, então ele percorreu
30/360, ou seja, 1/12 da circunferência, o que equivale a /6 metros. Sendo = 30º,
então, sen 30º =
Podemos generalizar os resultados até aqui obtidos da seguinte maneira:
Em uma circunferência de raio 1, os arcos correspondentes a 360º, 180º, 90º, 45º e
22,5º têm comprimentos iguais a, respectivamente, 2, , /2, /4 e /8 medidos na
mesma unidade do raio.
De modo geral, existe uma proporcionalidade direta entre a medida do arco e a
medida do ângulo central correspondente: se o ângulo central dobrar, o comprimento
do arco também dobrará, e assim por diante.
Desse fato decorre que, sendo o ângulo central , medido em graus, correspondente a
um arco de comprimento s, vale a proporção,
2
.
2
.
2
1
.
2
.
2
2 R
. 2 R .
, ou seja, s
360
360
. 2 R .
, ou seja, s
360
360
s
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
Página 19
As relações entre , s e c decorrem das seguintes expressões, já conhecidas:
c
c , ou seja, c 2 R . sen
2
sen
2
2 R 2R
c , ou seja, c 2 R . sen
2
sen
2
2 R 2R
s
2 R
.2 R
, ou seja, s
360
360
.2 R
, ou seja, s
360
360
1
Para = 180º, temos: c = 2R. sen 90o = 2R e s . 2 R = R.
2
Para = 180º, temos: c = 2R. sen 90o = 2R e s . 2 R = R.
2
Para = 120º, temos: c = 2R. sen 60o = R
Para = 90º, temos: c = 2R . sen 45o = R
1
Para = 60º, temos: c = 2R. sen 30o = R e s = . 2R = R/3.
6
Para = 60º, temos: c = 2R. sen 30o = R e s = . 2R = R/3.
6
1
. 2R = 2R /3.
3
. 2R = 2R /3.
3
3 es=
1
. 2R = R/2.
4
. 2R = R/2.
4
2 es=
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
Para = 30º, temos: c = 2R . sen 15o e s =
de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c 0,52R).
Para = 10º, temos: c = 2R . sen 5o e s =
tabela de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c 0,17R).
Para = 0º, temos: c = 2R . sen 0o = 0 e s = 0.
1
. 2R = R/6 (consultando uma tabela
12
. 2R = R/6 (consultando uma tabela
12
1
. 2R R/18 (consultando uma
36
. 2R R/18 (consultando uma
36
Para cada um dos valores de , é interessante sugerir aos alunos que façam uma
figura e observem as relações geométricas entre as cordas e os arcos, imaginando os
possíveis polígonos regulares cujos lados correspondem às cordas calculadas, quando
for o caso.
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS – REGULARIDADES NA
INSCRIÇÃO E NA CIRCUNSCRIÇÃO
INSCRIÇÃO E NA CIRCUNSCRIÇÃO
Páginas 22 – 23
Basta substituir o valor de n pelo correspondente ao número de lados de cada
polígono nas expressões anteriormente obtidas:
360 o
n
n
=
(Os valores obtidos que não forem inteiros podem significar alguma dificuldade na
construção efetiva dos polígonos, mas não em sua concepção.)
i = 180º –
360 o
n
n
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
2. Um quilógono regular seria confundido com uma circunferência devido ao grande
número de lados (1 000 lados). Note pela tabela que o ângulo central será muito
próximo de zero, e o ângulo interno muito próximo de 180º.
Página 23
a) Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo deve ser igual a 180º,
para que os dois sejam iguais é preciso que ambos sejam iguais a 90º. O polígono
regular, nesse caso, é um quadrado.
b) Para que o ângulo interno seja igual ao dobro do ângulo externo, devemos ter
360
360
2.
, que resulta em n = 6. O polígono é um hexágono regular.
n
n
360
2.
, que resulta em n = 6. O polígono é um hexágono regular.
n
n
180
c) Se o ângulo central é igual ao ângulo interno, temos:
360
360
180
, que resulta em n = 4. O polígono procurado é um quadrado.
n
n
360
180
, que resulta em n = 4. O polígono procurado é um quadrado.
n
n
Páginas 26 – 28
a) Para n = 3, o ângulo central é igual a 360/n, ou seja, = 120º. Temos, então:
L3i = 2.sen 60o =
Para n = 6, o ângulo central é igual a 60º. Temos, então:
L6i = 2.sen 30o = 1 e L6c = 2.tg 30o = 2 3 /3 1,155.
Para n = 12, = 30o e temos:
L12i = 2.sen 15o 0,518 e L12c = 2.tg 15o 0,536.
Para n = 24, = 15o e temos:
L24i = 2.sen 7,5o 0,261 e L24c = 2.tg 7,5o = 0,263.
b) Analogamente, calculando os lados dos polígonos inscrito e circunscrito para os
valores indicados de n, temos:
o
3 1,732 e L3c = 2.tg 60 = 2 3 3,464.
3 1,732 e L3c = 2.tg 60 = 2 3 3,464.
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
L4i 1,414 e L4c = 2;
L8i 0,765 e L8c 0,828;
L16i 0,390 e L16c 0,398;
L32i 0,196 e L32c 0,197.
É interessante o professor, a partir dos valores calculados, comentar e interpretar
geometricamente os seguintes fatos:
– Quanto mais aumenta o valor de n, mais diminui o comprimento do lado.
– Quanto mais aumenta o valor de n, menor se torna a diferença entre os valores de
Li e de Lc.
– Se multiplicarmos os valores de Li por n, o produto n . Li aproxima-se cada vez
mais de 2 ( 6,282), que é o comprimento da circunferência de raio 1 na qual os
polígonos estão sendo inscritos.
(para L16i 0,390, temos 16.L16i 6,24; para L32i 0,196, temos 32.L32i = 6,272).
O mesmo ocorre se multiplicarmos os valores dos lados dos polígonos circunscritos
pelo número de lados.
4. O lado do polígono inscrito na circunferência é igual a L36i = 2R . sen (/2), sendo
R = 5 cm e o ângulo central igual a 360/36 = 10º.
Calculando, obtemos: L36i = 2 . 5 . sen 5º 0,872.
O perímetro do polígono será igual a: p36 = 36 . L36i 31,392 cm.
O comprimento da circunferência é C = 2R 31,416.
A diferença porcentual pedida é igual a
31,416 31,392
0,000764 0,076% .
31,416
0,000764 0,076% .
31,416
5. Para calcular a área do polígono circunscrito, basta calcular a área de um dos 36
pequenos triângulos em que ele se divide e multiplicar esse resultado por 36.
A área de um desses triângulos é a metade do produto da base L36c pela altura, que é
igual ao raio (1 dm). Logo, tal área vale (L36c . 1)/2.
Em consequência, a área do polígono circunscrito é igual a:
A36c= 36.(L36c . 1)/2 = 18 . L36c.
Calculando o lado do polígono, obtemos:
L36c = 2. tg 5º 0,175 dm.
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
Logo, a área será igual a:
A36c = 18 . 0,175 = 3,150 dm2.
A área do círculo de raio R = 1 dm é igual a A = . 12 3,141 dm2.
A diferença porcentual pedida é
Para calcular a área do polígono regular inscrito, é necessário calcular a altura de
cada um dos triângulos em que ele se divide, que é chamada de apótema (ap) do
polígono. O
triângulo retângulo que tem como catetos a metade do lado do triângulo e o apótema,
e como hipotenusa o raio R da circunferência: ap2 + (Li/2)2 = R2. Algumas atividades
explorando tal fato seriam interessantes.
3,150 3,141
0,003 , ou seja, cerca de 0,3%.
3,141
0,003 , ou seja, cerca de 0,3%.
3,141
apótema
pode
ser obtido usando-se o teorema de Pitágoras no
GABARITO
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
A HORA E A VEZ DOS TRIÂNGULOS NÃO RETÂNGULOS
Páginas 30 – 32
1. Para mostrar tal fato, basta traçar um diâmetro que passa pelo vértice do ângulo
inscrito e notar as relações entre os ângulos indicados:
x+y=
2x + z = 180º
2y + w = 180º.
Logo,
2x + 2y + (z + w) = 360,
ou seja, 2 + (z + w) = 360.
Como sabemos que + (z + w) = 360 (ver figura),
podemos concluir que 2 = , ou seja,
Essa relação pode ser aqui explorada, enunciando-se tal resultado de diferentes
modos, como, por exemplo:
, como queríamos mostrar.
2
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
– Todos os ângulos inscritos em um arco de circunferência, que subentendem a mesma corda
(ver Figura 1) têm a mesma medida, que é a metade do ângulo central correspondente.
(ver Figura 1) têm a mesma medida, que é a metade do ângulo central correspondente.
– Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência tem medida 90º (ver Figura 2.)
2. Traçando-se o diâmetro BP = d, notamos que o triângulo BCP é retângulo em C e
que o ângulo BPC é igual a , uma vez que é um ângulo inscrito no arco CAPB, que
tem o lado a como corda.
No triângulo retângulo BCP, temos: sen
a
em que d é o diâmetro da
d
em que d é o diâmetro da
d
circunferência circunscrita ao triângulo. Notamos, então, que
razão entre o lado a e o seno do ângulo oposto correspondente é igual ao diâmetro d
da circunferência.
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
De modo inteiramente análogo, concluiríamos que
três razões lado/seno do ângulo oposto são iguais, o que significa que lados e senos
são proporcionais. Esse é o significado da Lei dos senos.
b
c
= d, ou seja, as
sen sen
c
= d, ou seja, as
sen sen
a) O triângulo de lados 5 m, 6 m e 10 m não é retângulo, pois o maior lado ao
quadrado não é igual à soma dos outros dois: 102 > 62 + 52.
b) Se dobrarmos as medidas dos três lados, o novo triângulo será semelhante ao
inicial. Terá, portanto, os mesmos ângulos que ele.
c) Não é possível construir um triângulo com lados 5 m, 3 m e 10 m, pois a soma
de dois dos lados (3 m e 5 m) é menor que o terceiro lado (10 m), como mostra a
figura abaixo.
Para ser possível a construção de um triângulo com lados a, b e c, é necessário que
cada um dos lados seja menor do que a soma dos outros dois.
d) Os lados de um triângulo são diretamente proporcionais aos senos dos ângulos
opostos, ou seja:
5
6
10
.
sen sen sen
6
10
.
sen sen sen
Portanto, a razão
sen
5
1
, ou seja, é igual a .
é igual a
sen
10
2
5
1
, ou seja, é igual a .
é igual a
sen
10
2
Página 32
1. Qualquer que seja a posição do ângulo α, seu seno, calculado no triângulo retângulo
que tem a hipotenusa como diâmetro, é igual a
1
. Logo α = 30o.
2
. Logo α = 30o.
2
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
Páginas 33 – 34
a) O triângulo não é retângulo, uma vez que o maior dos lados não é igual à soma
dos quadrados dos outros dois. Como 42 > 22 + 32, o triângulo tem um ângulo obtuso
oposto ao lado 4.
b) Para calcular o cosseno do ângulo , podemos escrever: c2 = a2 + b2 – 2ab . cos .
Logo, 16 = 4 + 9 – 2 . 2 . 3 . cos , ou seja, cos = –
(Notamos que cos < 0, pois > 90o)
c) Para calcular o seno dos outros dois ângulos, podemos escolher um dos
seguintes caminhos:
- Calculamos o cosseno de cada um deles, do mesmo modo utilizado para o cosseno
de , e, a partir daí, calculamos o seno por meio da relação fundamental
sen2 + cos2 = 1.
- Alternativamente, podemos calcular o seno de por meio da relação
sen2 + cos2 = 1 e, a partir daí, usar a Lei dos Senos.
Optando por esse segundo caminho, temos:
1
sen2 + (– )2 = 1, ou seja, sen =
4
sen2 + (– )2 = 1, ou seja, sen =
4
(lembrar que tem seno positivo por ser um ângulo menor do que 180o)
Como temos, pela Lei dos senos, a proporção a seguir:
sen sen sen
4
2
3
4
2
3
concluímos que sen =
1
.
4
.
4
15
.
4
.
4
15
15
e sen = 3
.
8
16
15
e sen = 3
.
8
16
5. Considerando o triângulo formado por F2, R e o segmento paralelo a F1, e sendo o
ângulo formado pelos lados F2 e F1, usando a Lei dos cossenos, temos:
GABARITO
Caderno do Aluno
Matemática – 1a série – Volume 4
R2 = F22 + F12 – 2F1.F2.cos
Como os ângulos e são suplementares, isto é, a soma dos dois é igual a 180o,
cos = – cos . Em consequência:
R2 = F22 + F12 + 2F1.F2.cos
É importante destacar aqui que o ângulo , considerado na Física em geral, é o
ângulo entre as duas forças, e não o ângulo entre os dois lados do triângulo em que se
utiliza a Lei dos Cossenos. Como esses ângulos, entre as duas forças e entre os dois
lados do triângulo, são suplementares, os cossenos são simétricos. Em razão disso, os
sinais aparecem trocados no termo em que aparece o cosseno na lei e na fórmula da
resultante, usada na Física.
Páginas 34 – 36
2. Temos: R2 = 1002 + 1002 + 2 . 100 . 100 . cos
Substituindo os valores de , em cada um dos itens, obtemos:
a) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 0o = 40 000. Logo, R = 200.
b) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 30o = 20 000 + 10 000
Logo, R 193,2.
3 37 321.
GABARITO
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Matemática – 1a série – Volume 4
c) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 45o = 20 000 + 10 000
Logo, R 184,8.
d) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 60o = 20 000 + 10 000 = 30 000.
Logo, R 173,2.
e) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 90o = 20 000 + 0. Logo, R 141,4.
1
R2 = 20 000 + 20 000 . cos 120o = 20 000 + 20 000 . ( – ) = 10 000.
2
R2 = 20 000 + 20 000 . cos 120o = 20 000 + 20 000 . ( – ) = 10 000.
2
f)
Logo, R = 100.
g) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 150o = 20 000 + 20 000 . ( – 3 /2) 2 679.
Logo, R 51,8.
h) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 180o = 20 000 + 20 000.(–1) = 0. Logo, R = 0.
É interessante fazer uma figura para cada um dos valores de , representando a
resultante pela Regra do Paralelogramo e interpretando os resultados: quando o
ângulo mede 180º, por exemplo, as forças são diretamente opostas, e a resultante,
naturalmente, é igual a 0.
2 34 142.
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